M/Ph/Info (Beslmeisl)

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===Sinusfunktion und goniometrische Gleichungen===
Das folgende Bild zeigt, was die Sinusfunktion mit dem Einheitskreis zu tun hat.
Nebenbei erkennt man, wie man von Sinus-Werten zurückschließen kann auf die Winkel,
die zu diesen Sinuswerten geführt haben (goniometrische Gleichungen).

Da man am besten die volle Bildschirmbreite verwendet, ist das folgende Applet
nicht in die Seite eingebunden, sondern es muss ein eigenes Fenster geöffnet
werden.

<html>
<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/" 
        archive="geogebra.jar" 
        code="geogebra.GeoGebraApplet"
        width="200" height="40">
	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/singonio.ggb">
	<param name="type" value="button"/>
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</applet>
</html>

===Die Parameter der Sinus-Funktion===
Die Sinus-Funktion hat drei interessante Einstellmöglichkeiten, die hier
verstanden werden sollen. Es sind die Werte a, b und c in f(x)=a sin(bx+c).

Nicht dargestellt wird die Verschiebung in senkrechter Richtung. Die könnte man
natürlich auch untersuchen, aber es müsste jedem einleuchten, wie sie
mathematisch umgesetzt werden kann!

Gehe nun wie folgt vor:
  * Überdenke die Eigenheiten der gewöhnlichen Sinus-Funktion mit a=1, b=1 und c=0. Woher kommen Amplitudenhöhe und Periodenlänge?
  * Erkläre (nicht nur beschreibe!) die Auswirkungen von a auf die Amplitudenhöhe.
  * Belasse b=1 und stelle c=1 ein. Beachte die Änderung und vollziehe sie geistig nach!
  * Stelle nun c zurück auf c=0 und ändere b auf b=2 oder b=1/2. Auch diese Veränderungen solltest du verstehen können.
  * Ändere nun b und c und versuche einzusehen, warum sich die Funktion so verhält. (Diesen Punkt werden wir noch genauer diskutieren.)

<html>
<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/" 
        archive="geogebra.jar" 
        code="geogebra.GeoGebraApplet"
        width="610" height="337">
	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/sin.ggb">
	<param name="framePossible" value="false">
	<param name="showResetIcon" value="false">
	<param name="enableRightClick" value="false">
	<param name="showMenuBar" value="false">
	<param name="showToolBar" value="false">
	<param name="showToolBarHelp" value="false">
	<param name="showAlgebraInput" value="false">
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</applet>
</html>
===Wie man schnell eine sinusförmige Funktion zeichnet===
Bei der Verwendung von kariertem Papier ist man gewohnt, dass zwei Kästchen der
Zahl 1 entsprechen, sowohl waagrecht als auch senkrecht. Wenn man ausnahmsweise
mal anders einteilt, sehen die Graphen verzerrt aus. Das wollen wir möglichst
vermeiden.

Eine typische Sinus- oder Kosinusfunktion schwingt mit Amplitude 1 über und unter
die x-Achse. Das ist zwar nicht viel, aber eine Vergrößerung lohnt sich nicht, weil
man damit auch keine weiteren geheimen Details findet. Lassen wir also in y-Richtung
die Skalierung 2 Kästchen als Einheit. Von den Hochwerten kennen wir so viele
auswendig, dass wir leicht eine saubere Kurve zeichnen können: 0, 0.5, 0.86, 1,
0.86, 0.5, 0, -0.5, -0.86, -1, -0.86, -0.5, 0 und dann wieder von vorne. Dabei
haben wir nur die Werte für die Winkel im Abstand von 30° betrachtet, also die
360° in 12 Teile zerlegt.

Da wir die Winkelfunktionen im Bogenmaß angeben, sieht man die 360° als 2π≈6.28.
Diesen Wert markieren wir auf der x-Achse bei 12 Kästchen. Bei 6cm liegt also
nicht der Wert 6, sondern der Wert 6.28. Das verzerrt den Graphen nur unmerklich,
erleichtert aber die Zeichnung erheblich.

Als Beispiel einer sinusförmigen Funktion sehen wir uns den Kosinus genauer an.
Wir zeichnen zuerst f(x)=cos(x). (Die beiden farbig markierten Punkte werden gleich
noch gebraucht.) Die Werte sind die gleichen wie beim Sinus, nur dass an der Stelle
x=0 mit 1 begonnen wird.

<html>
<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/" 
        archive="geogebra.jar" 
        code="geogebra.GeoGebraApplet"
        width="610" height="200">
	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos0.ggb">
	<param name="framePossible" value="false">
	<param name="showResetIcon" value="false">
	<param name="enableRightClick" value="false">
	<param name="showMenuBar" value="false">
	<param name="showToolBar" value="false">
	<param name="showToolBarHelp" value="false">
	<param name="showAlgebraInput" value="false">
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</applet>
</html>

Wie zeichnet man nun aber z.B. die Funktion f(x)=cos(2(x+π/6))=cos(2x+π/3)?
Um dies einzusehen, betrachten wir zuerst den grünen Punkt und die erste
Schreibweise f(x)=cos(2(x+π/6)). Wir fragen: Wo kommt der grüne Punkt hin,
also jener, wo der cos am größten wird, also bei normalerweise x=0?

Die Antwort ist ganz einfach: Dafür muss x=-π/6 sein. Wegen der 2 geht die
Schwingung dann doppelt so schnell und wir müssen unsere bekannten Werte im
Abstand von halben Kästchen machen.

<html>
<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/" 
        archive="geogebra.jar" 
        code="geogebra.GeoGebraApplet"
        width="610" height="200">
	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos1.ggb">
	<param name="framePossible" value="false">
	<param name="showResetIcon" value="false">
	<param name="enableRightClick" value="false">
	<param name="showMenuBar" value="false">
	<param name="showToolBar" value="false">
	<param name="showToolBarHelp" value="false">
	<param name="showAlgebraInput" value="false">
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</applet>
</html>

Wir können aber auch die zweite Schreibweise verwenden f(x)=cos(2x+π/3) und
den roten Punkt. Dann lautet die Frage: Was bekommt der Kosinus in f(x), wenn
man x=0 einsetzt? Da bekommt er offensichtlich π/3. Wir müssen also bei x=0
den Hochwert einzeichnen, den der Kosinus normalerweise erst bei π/3 hat.
Natürlich schwingt die Funktion wegen der 2 auch hier doppelt so schnell und
wir zeichnen wieder unsere bekannten Werte im Abstand von halben Kästchen ein.

<html>
<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/" 
        archive="geogebra.jar" 
        code="geogebra.GeoGebraApplet"
        width="610" height="200">
	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos2.ggb">
	<param name="framePossible" value="false">
	<param name="showResetIcon" value="false">
	<param name="enableRightClick" value="false">
	<param name="showMenuBar" value="false">
	<param name="showToolBar" value="false">
	<param name="showToolBarHelp" value="false">
	<param name="showAlgebraInput" value="false">
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</applet>
</html>
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