M/Ph/Info (Beslmeisl)

In dieser Übung werden Funktionen graphisch dargestellt. Was man sieht, kann man als eine (sehr umfangreiche) Menge von Punkten auffassen, die, alle zusammen, eine Gerade oder Kurve ergeben. Jeder Punkt eines solchen Graphen ist festgelegt durch seinen Rechtswert (oder Linkswert, falls negativ), die sogenannte Abszisse (schülersprachlich auch x-Wert genannt) und seinen Hochwert (oder Tiefwert, falls negativ), die sogenannte Ordinate (schülersprachlich auch y-Wert genannt). Die Abszisse wird in den Bildern mit x bezeichnet, die Ordinate mit f(x). Der Hochwert wird nämlich auch Funktionswert genannt. f(3) ist also der Hochwert, wenn man waagrecht 3 weit geht. Wie hoch das dann ist, hängt von der Funktionsgleichung ab. Wenn f(x)=x+5, dann ist f(3)=8. Wenn im Folgenden von der Parabelgleichung die Rede ist, dann ist die Funktionsgleichung gemeint. Wir reden nämlich nur über Parabelfunktionen.

Halt! Komme gar nicht erst auf die Idee, weiterzulesen, wenn dir das bis hier Gesagte nicht völlig selbstverständlich erscheint!

Das Bild zeigt den Graph einer Parabel. Mit den drei Formvariablen a, b und c kann das Aussehen verändert werden. a ist der Faktor vor dem x², b der vor dem x und c die allein stehende Zahl. Die drei Werte können mit den Schiebereglern im Bild verändert werden. Diese Art, eine Parabel hinzuschreiben, nennt man Normalform. Versuche zu erkennen, welchen Einfluss die verschiedenen Werte auf das Aussehen haben!

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Stelle nun mit den Schiebereglern die Werte a=1, b=2 und c=–2 ein. Setze nun selber folgende x-Werte in die Parabelgleichung ein und berechne die daraus sich ergebenden y-Werte: x=–3, x=–2, x=–1, x=0. Überprüfe deine Ergebnisse am Graphen! Du findest den kleinsten y-Wert, aber du weißt nicht, warum er gerade –3 ist. In der Gleichung kommt nirgends –3 vor. Alles ist undurchsichtig. Merke dir aber schon einmal die Sprechweise: Die Parabel hat das Minimum –3 an der Stelle –1.

Der Scheitel einer Parabel ist der Punkt, wo es nicht mehr tiefer (oder höher) geht. Der Begriff „Scheitel“ wird gleich eine gewisse Wichtigkeit bekommen. Im nächsten Bild gibt es wieder drei Formvariable. Hier müsste es einfacher sein, den Zusammenhang zum Aussehen der Parabel herauszufinden. Versuche es!

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Der Nachteil hier ist, dass jetzt die Funktionsgleichung mit der Klammer viel schwieriger aussieht. Stelle nun mit den Schiebereglern die gleiche Parabel her wie in der Aufgabe oben. Schreibe die Funktionsgleichung in dein Heft und forme sie so um, dass die Klammer verschwindet. Vergewissere dich, dass du doch die gleiche Funktionsgleichung bekommst wie oben.

Setze nun die gleichen x-Werte in die Funktionsgleichung ein, wie oben. Verwende aber die Schreibweise mit den Klammern! Damit solltest du jetzt einsehen, warum das Minimum den Wert –3 hat und warum es an der Stelle –1 entsteht.

Um den Anschluss an den Themenbereich „Quadratische Gleichungen“ nicht zu verlieren: Löse die Gleichungen x²+2x–2=0 und (x+1)²–3=0. Warum haben beide die gleichen Lösungen und was bedeuten die Lösungen in den Graphenbildern?

Halt! Das volle Verständnis der Antwort auf diese Frage ist zu erstreben! Umformen der Parabelgleichung

Wie man aus der Scheitelform die Normalform bekommt, ist offensichtlich: Durch Ausmultiplizieren der Klammer. Aber wie kommt man von der Normalform auf die anschaulich wertvollere Scheitelform? (Was? Was ist denn das: Normalform und Scheitelform? Und warum ist die Scheitelform anschaulich wertvoller?)

Man sieht es an der Tatsache, dass das x nur noch ein einziges Mal in der Scheitelform vorkommt: Man muss quadratisch ergänzen und zwar genau so raffiniert, dass das x nur noch einmal vorkommt. Das geht genauso, wie schon beim Lösen von quadratischen Gleichungen. Da hatte man das gleiche Problem.

Nimm also die Parabelgleichung aus der Aufgabe ganz oben und stelle durch quadratisches Ergänzen die Scheitelform her. Das sollte nicht allzu schwierig sein, weil ja a=1 ist.