Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.

--- mathe:sinus:sinus1 [2008/01/06 21:30]
admin
+++ mathe:sinus:sinus1 [2013/01/20 20:18] (aktuell)
admin
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-Die Sinus-Funktion hat drei interessante Einstellmöglichkeiten, die hier verstanden werden sollen. Es sind die Werte a, b und c in f(x)=a sin(b(x+c)).
+===Sinusfunktion und goniometrische Gleichungen===
+Das folgende Bild zeigt, was die Sinusfunktion mit dem Einheitskreis zu tun hat.
+Nebenbei erkennt man, wie man von Sinus-Werten zurückschließen kann auf die Winkel,
+die zu diesen Sinuswerten geführt haben (goniometrische Gleichungen).
-Nicht dargestellt wird die Verschiebung in senkrechter Richtung. Die könnte man natürlich auch untersuchen, aber es müsste jedem einleuchten, wie sie mathematisch umgesetzt werden kann!
+Da man am besten die volle Bildschirmbreite verwendet, ist das folgende Applet
+nicht in die Seite eingebunden, sondern es muss ein eigenes Fenster geöffnet
+werden.
+<html>
+<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/"
+        archive="geogebra.jar"
+        code="geogebra.GeoGebraApplet"
+        width="200" height="40">
+	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/singonio.ggb">
+	<param name="type" value="button"/>
+Das GeoGebra Applet konnte nicht gestartet werden. Bitte installieren Sie Java 1.5 (oder höher) für diese Browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Installiere Java</a>)
+</applet>
+</html>
+Falls es nicht klappt, laden Sie [[http://mphinfo.bplaced.net/data/media/mathe/sinus/singonio.ggb|hier]] die GeoGebra-Datei herunter.
+===Die Parameter der Sinus-Funktion===
+Die Sinus-Funktion hat drei interessante Einstellmöglichkeiten, die hier
+verstanden werden sollen. Es sind die Werte a, b und c in f(x)=a sin(bx+c).
+Nicht dargestellt wird die Verschiebung in senkrechter Richtung. Die könnte man
+natürlich auch untersuchen, aber es müsste jedem einleuchten, wie sie
+mathematisch umgesetzt werden kann!
 Gehe nun wie folgt vor:
-  * Verfolge die Eigenheiten der gewöhnlichen Sinus-Funktion mit a=1, b=1 und c=0.
+  * Überdenke die Eigenheiten der gewöhnlichen Sinus-Funktion mit a=1, b=1 und c=0. Woher kommen Amplitudenhöhe und Periodenlänge?
-  * Ändere dann a und verstehe das Verhalten der Funktion.
+  * Erkläre (nicht nur beschreibe!) die Auswirkungen von a auf die Amplitudenhöhe.
   * Belasse b=1 und stelle c=1 ein. Beachte die Änderung und vollziehe sie geistig nach!
   * Stelle nun c zurück auf c=0 und ändere b auf b=2 oder b=1/2. Auch diese Veränderungen solltest du verstehen können.
-  * Ändere nun b und c und versuche einzusehen, warum sich die Funktion so verhält.
+  * Ändere nun b und c und versuche einzusehen, warum sich die Funktion so verhält. (Diesen Punkt werden wir noch genauer diskutieren.)
 <html>
-<applet name="ggbApplet"
+<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/"
-    code="geogebra.GeoGebraApplet"
+        archive="geogebra.jar"
-    codebase="./"
+        code="geogebra.GeoGebraApplet"
-    archive="http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jar"
+        width="610" height="337">
-    width="610" height="337">
 	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/sin.ggb">
 	<param name="framePossible" value="false">
 	<param name="showResetIcon" value="false">
+	<param name="enableRightClick" value="false">
+	<param name="showMenuBar" value="false">
+	<param name="showToolBar" value="false">
+	<param name="showToolBarHelp" value="false">
+	<param name="showAlgebraInput" value="false">
+Das GeoGebra Applet konnte nicht gestartet werden. Bitte installieren Sie Java 1.5 (oder höher) für diese Browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Installiere Java</a>)
+</applet>
+</html>
+===Wie man schnell eine sinusförmige Funktion zeichnet===
+Bei der Verwendung von kariertem Papier ist man gewohnt, dass zwei Kästchen der
+Zahl 1 entsprechen, sowohl waagrecht als auch senkrecht. Wenn man ausnahmsweise
+mal anders einteilt, sehen die Graphen verzerrt aus. Das wollen wir möglichst
+vermeiden.
+Eine typische Sinus- oder Kosinusfunktion schwingt mit Amplitude 1 über und unter
+die x-Achse. Das ist zwar nicht viel, aber eine Vergrößerung lohnt sich nicht, weil
+man damit auch keine weiteren geheimen Details findet. Lassen wir also in y-Richtung
+die Skalierung 2 Kästchen als Einheit. Von den Hochwerten kennen wir so viele
+auswendig, dass wir leicht eine saubere Kurve zeichnen können: 0, 0.5, 0.86, 1,
+.86, 0.5, 0, -0.5, -0.86, -1, -0.86, -0.5, 0 und dann wieder von vorne. Dabei
+haben wir nur die Werte für die Winkel im Abstand von 30° betrachtet, also die
+° in 12 Teile zerlegt.
+Da wir die Winkelfunktionen im Bogenmaß angeben, sieht man die 360° als 2π≈6.28.
+Diesen Wert markieren wir auf der x-Achse bei 12 Kästchen. Bei 6cm liegt also
+nicht der Wert 6, sondern der Wert 6.28. Das verzerrt den Graphen nur unmerklich,
+erleichtert aber die Zeichnung erheblich.
+Als Beispiel einer sinusförmigen Funktion sehen wir uns den Kosinus genauer an.
+Wir zeichnen zuerst f(x)=cos(x). (Die beiden farbig markierten Punkte werden gleich
+noch gebraucht.) Die Werte sind die gleichen wie beim Sinus, nur dass an der Stelle
+x=0 mit 1 begonnen wird.
+<html>
+<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/"
+        archive="geogebra.jar"
+        code="geogebra.GeoGebraApplet"
+        width="610" height="200">
+	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos0.ggb">
+	<param name="framePossible" value="false">
+	<param name="showResetIcon" value="false">
 	<param name="enableRightClick" value="false">
 	<param name="showMenuBar" value="false">
@@ Zeile 25: / Zeile 90: @@
 	<param name="showToolBarHelp" value="false">
 	<param name="showAlgebraInput" value="false">
-Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Click here to install Java now</a>)
+Das GeoGebra Applet konnte nicht gestartet werden. Bitte installieren Sie Java 1.5 (oder höher) für diese Browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Installiere Java</a>)
 </applet>
 </html>
+Wie zeichnet man nun aber z.B. die Funktion f(x)=cos(2(x+π/6))=cos(2x+π/3)?
+Um dies einzusehen, betrachten wir zuerst den grünen Punkt und die erste
+Schreibweise f(x)=cos(2(x+π/6)). Wir fragen: Wo kommt der grüne Punkt hin,
+also jener, wo der cos am größten wird, also bei normalerweise x=0?
+Die Antwort ist ganz einfach: Dafür muss x=-π/6 sein. Wegen der 2 geht die
+Schwingung dann doppelt so schnell und wir müssen unsere bekannten Werte im
+Abstand von halben Kästchen machen.
+<html>
+<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/"
+        archive="geogebra.jar"
+        code="geogebra.GeoGebraApplet"
+        width="610" height="200">
+	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos1.ggb">
+	<param name="framePossible" value="false">
+	<param name="showResetIcon" value="false">
+	<param name="enableRightClick" value="false">
+	<param name="showMenuBar" value="false">
+	<param name="showToolBar" value="false">
+	<param name="showToolBarHelp" value="false">
+	<param name="showAlgebraInput" value="false">
+Das GeoGebra Applet konnte nicht gestartet werden. Bitte installieren Sie Java 1.5 (oder höher) für diese Browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Installiere Java</a>)
+</applet>
+</html>
+Wir können aber auch die zweite Schreibweise verwenden f(x)=cos(2x+π/3) und
+den roten Punkt. Dann lautet die Frage: Was bekommt der Kosinus in f(x), wenn
+man x=0 einsetzt? Da bekommt er offensichtlich π/3. Wir müssen also bei x=0
+den Hochwert einzeichnen, den der Kosinus normalerweise erst bei π/3 hat.
+Natürlich schwingt die Funktion wegen der 2 auch hier doppelt so schnell und
+wir zeichnen wieder unsere bekannten Werte im Abstand von halben Kästchen ein.
+<html>
+<applet codebase="http://jars.geogebra.org/webstart/"
+        archive="geogebra.jar"
+        code="geogebra.GeoGebraApplet"
+        width="610" height="200">
+	<param name="filename" value="data/media/mathe/sinus/cos2.ggb">
+	<param name="framePossible" value="false">
+	<param name="showResetIcon" value="false">
+	<param name="enableRightClick" value="false">
+	<param name="showMenuBar" value="false">
+	<param name="showToolBar" value="false">
+	<param name="showToolBarHelp" value="false">
+	<param name="showAlgebraInput" value="false">
+Das GeoGebra Applet konnte nicht gestartet werden. Bitte installieren Sie Java 1.5 (oder höher) für diese Browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Installiere Java</a>)
+</applet>
+</html>

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