In dieser Übung werden Funktionen graphisch dargestellt. Was man sieht, kann
man als eine (sehr umfangreiche) Menge von Punkten auffassen, die, alle zusammen,
eine Gerade oder Kurve ergeben. Jeder Punkt eines solchen Graphen ist festgelegt
durch seinen Rechtswert (oder Linkswert, falls negativ), die sogenannte Abszisse
(schülersprachlich auch x-Wert genannt) und seinen Hochwert (oder Tiefwert, falls
negativ), die sogenannte Ordinate (schülersprachlich auch y-Wert genannt). Die
Abszisse wird in den Bildern mit x bezeichnet, die Ordinate mit f(x). Der Hochwert
wird nämlich auch Funktionswert genannt. f(3) ist also der Hochwert, wenn man
waagrecht 3 weit geht. Wie hoch das dann ist, hängt von der Funktionsgleichung
ab. Wenn f(x)=x+5, dann ist f(3)=8. Wenn im Folgenden von der Parabelgleichung
die Rede ist, dann ist die Funktionsgleichung gemeint. Wir reden nämlich nur
über Parabelfunktionen.
Halt! Komme gar nicht erst auf die Idee, weiterzulesen, wenn dir das bis hier
Gesagte nicht VÖLLIG selbstverständlich erscheint!
Das Bild zeigt den Graph einer Parabel. Mit den drei Formvariablen a, b und
c kann das Aussehen verändert werden. a ist der Faktor vor dem x2,
b der vor dem x und c die allein stehende Zahl. Die drei Werte können mit den
Schiebereglern im Bild verändert werden. Diese Art, eine Parabel
hinzuschreiben, nennt man Normalform.
Versuche zu erkennen, welchen Einfluss die verschiedenen Werte auf das
Aussehen haben!
Stelle nun mit den Schiebereglern die Werte a=1, b=2 und c=–2 ein.
Setze nun selber folgende x-Werte in die Parabelgleichung ein und berechne die
daraus sich ergebenden y-Werte: x=–3, x=–2, x=–1, x=0.
Überprüfe deine Ergebnisse am Graphen!
Du findest den kleinsten y-Wert, aber du weißt nicht, warum er gerade –3
ist. In der Gleichung kommt nirgends –3 vor. Alles ist undurchsichtig.
Merke dir aber schon einmal die Sprechweise: Die Parabel hat das Minimum
–3 an der Stelle –1.
Der Scheitel einer Parabel ist der Punkt, wo es nicht mehr tiefer (oder höher) geht. Der Begriff "Scheitel" wird gleich eine gewisse Wichtigkeit bekommen. Im nächsten Bild gibt es wieder drei Formvariable. Hier müsste es einfacher sein, den Zusammenhang zum Aussehen der Parabel herauszufinden. Versuche es!
Der Nachteil hier ist, dass jetzt die Funktionsgleichung mit der Klammer
viel schwieriger aussieht. Stelle nun mit den Schiebereglern die gleiche
Parabel her wie in der Aufgabe oben. Schreibe die Funktionsgleichung in dein
Heft und forme sie so um, dass die Klammer verschwindet. Vergewissere dich,
dass du doch die gleiche Funktionsgleichung bekommst wie oben.
Setze nun die gleichen x-Werte in die Funktionsgleichung ein, wie oben.
Verwende aber die Schreibweise mit den Klammern! Damit solltest du jetzt
einsehen, warum das Minimum den Wert –3 hat und warum es an der Stelle
–1 entsteht.
Um den Anschluss an den Themenbereich "Quadratische Gleichungen" nicht zu
verlieren: Löse die Gleichungen x2+2x–2=0 und
(x+1)2–3=0. Warum haben beide die gleichen Lösungen und was
bedeuten die Lösungen in den Graphenbildern?
Halt! Das VOLLE Verständnis der Antwort auf diese Frage ist zu erstreben!
Wie man aus der Scheitelform die Normalform bekommt, ist offensichtlich:
Durch Ausmultiplizieren der Klammer. Aber wie kommt man von der Normalform
auf die anschaulich wertvollere Scheitelform? (Was? Was ist denn das:
Normalform und Scheitelform? Und warum ist die Scheitelform anschaulich
wertvoller?)
Man sieht es an der Tatsache, dass das x nur noch ein einziges Mal in der
Scheitelform vorkommt: Man muss quadratisch ergänzen und zwar genau so raffiniert,
dass das x nur noch einmal vorkommt. Das geht genauso, wie schon beim Lösen
von quadratischen Gleichungen. Da hatte man das gleiche Problem.
Nimm also die Parabelgleichung aus der Aufgabe ganz oben und stelle durch
quadratisches Ergänzen die Scheitelform her. Das sollte nicht allzu schwierig
sein, weil ja a=1 ist.