Um das Volumen eines Rotationskšrpers auszurechnen, denken wir ihn uns waagrecht
hingelegt und betrachten nur, wie hoch er in AbhŠngigkeit von x aufragt. Diese Hšhe
(oder besser Dicke) wird beim Rotieren der Radius sein, deshalb nennen wir die Funktion
r(x).
Bei einem nicht gewšlbten Sektglas der Hšhe H (grš§ter erreichbarer x-Wert) und
mit Radius R (hšchster erreichbarer y-Wert) ist das eine Gerade der Steigung R/H.

r(x,H,R):=R/H*x;

FŸr R=2 und H=5 sieht das Glas von der Seite so aus (der untere Teil des Graphen
wurde zusŠtzlich gezeichnet, damit es besser aussieht; er ist natŸrlich nicht
Teil der dargestellten Dickenfunktion).

wxplot2d([r(x,5,2),-r(x,5,2)], [x,0,5], [y,-2,2])$

Das Integrieren dieser r(x)-Werte bedeutet das Aufsummieren vieler r-StŠbchen zu einer
FlŠche. Das wollen wir aber nicht. Wir wollen viele Wurstscheiben zu einem Volumen
aufaddieren und brauchen deshalb die Grš§e der Wurstscheiben in AbhŠngigkeit von x.
Nennen wir diese Grš§e mal a(x,H,R). Mit der Kreisformel bekommen wir

a(x,H,R):=r(x,H,R)^2*%pi;

Integrieren mŸssen wir Ÿber die ganze Hšhe. Die beginnt bei 0 und endet bei H.
Wir bekommen die bekannte Formel fŸr das Volumen des Kegels: Das Volumen ist
genau ein Drittel des umschlie§enden Zylinders.

integrate(a(x,H,R),x,0,H);

Das geht natŸrlich auch fŸr schwierigere FŠlle. Nehmen wir z.B. ein Sektglas in
Parabelform. Mit ein bisschen Nachdenken findet man die Dickenfunktion

r(x,H,R):=R/sqrt(H)*sqrt(x);

Auch dieses Glas wollen wir sehen (unterer Teile des Graphen wieder gemogelt)

wxplot2d([r(x,5,2),-r(x,5,2)], [x,0,5], [y,-2,2])$

Das Ergebnis der Integration ist interessanterweise dem des Kegels eng verwandt.
Man sieht, dass ein parabelfšrmiges Glas nicht ein Drittel des umschlie§enden
Zylinders ausmacht, sondern die HŠlfte!

integrate(a(x,H,R),x,0,H);

Schlie§lich wollen wir noch das Volumen der Kugel berechnen. Den Parameter H
brauchen wir da eigentlich nicht. Aber um das oben definierte a(x,H,R) gleich
weiter verwenden zu kšnnen, lassen wir den Parameter ungenutzt in der Formel

r(x,H,R):=sqrt(R^2-x^2);

Die Darstellung ist vielleicht ein wenig verzerrt. Trotzdem ist das eine
(umgekippte ha, ha) Kugel von der Seite betrachtet.

wxplot2d([r(x,2,2),-r(x,2,2)], [x,-2,2], [y,-2,2])$

So, wie wir die Kugel gelegt haben, mŸssen wir die Integrationsgrenzen anpassen.

integrate(a(x,H,R),x,-R,R);