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mathe:parabeln:parabel1
Unterschiede
Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.
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mathe:parabeln:parabel1 [2008/01/06 21:05] admin angelegt |
mathe:parabeln:parabel1 [2013/08/11 15:06] (aktuell) admin |
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| In dieser Übung werden Funktionen graphisch dargestellt. Was man sieht, kann man als eine (sehr umfangreiche) Menge von Punkten auffassen, die, alle zusammen, eine Gerade oder Kurve ergeben. Jeder Punkt eines solchen Graphen ist festgelegt durch seinen Rechtswert (oder Linkswert, falls negativ), die sogenannte Abszisse (schülersprachlich auch x-Wert genannt) und seinen Hochwert (oder Tiefwert, falls negativ), die sogenannte Ordinate (schülersprachlich auch y-Wert genannt). Die Abszisse wird in den Bildern mit x bezeichnet, die Ordinate mit f(x). Der Hochwert wird nämlich auch Funktionswert genannt. f(3) ist also der Hochwert, wenn man waagrecht 3 weit geht. Wie hoch das dann ist, hängt von der Funktionsgleichung ab. Wenn f(x)=x+5, dann ist f(3)=8. Wenn im Folgenden von der Parabelgleichung die Rede ist, dann ist die Funktionsgleichung gemeint. Wir reden nämlich nur über Parabelfunktionen. | In dieser Übung werden Funktionen graphisch dargestellt. Was man sieht, kann man als eine (sehr umfangreiche) Menge von Punkten auffassen, die, alle zusammen, eine Gerade oder Kurve ergeben. Jeder Punkt eines solchen Graphen ist festgelegt durch seinen Rechtswert (oder Linkswert, falls negativ), die sogenannte Abszisse (schülersprachlich auch x-Wert genannt) und seinen Hochwert (oder Tiefwert, falls negativ), die sogenannte Ordinate (schülersprachlich auch y-Wert genannt). Die Abszisse wird in den Bildern mit x bezeichnet, die Ordinate mit f(x). Der Hochwert wird nämlich auch Funktionswert genannt. f(3) ist also der Hochwert, wenn man waagrecht 3 weit geht. Wie hoch das dann ist, hängt von der Funktionsgleichung ab. Wenn f(x)=x+5, dann ist f(3)=8. Wenn im Folgenden von der Parabelgleichung die Rede ist, dann ist die Funktionsgleichung gemeint. Wir reden nämlich nur über Parabelfunktionen. | ||
| - | Halt! Komme gar nicht erst auf die Idee, weiterzulesen, wenn dir das bis hier Gesagte nicht VÖLLIG selbstverständlich erscheint! | ||
| - | Parabelgleichung in Normalform | ||
| - | Das Bild zeigt den Graph einer Parabel. Mit den drei Formvariablen a, b und c kann das Aussehen verändert werden. a ist der Faktor vor dem x2, b der vor dem x und c die allein stehende Zahl. Die drei Werte können mit den Schiebereglern im Bild verändert werden. Diese Art, eine Parabel hinzuschreiben, nennt man Normalform. | + | Halt! Komme gar nicht erst auf die Idee, weiterzulesen, wenn dir das bis hier Gesagte nicht **völlig** selbstverständlich erscheint! |
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| + | ===Parabelgleichung in Normalform=== | ||
| + | Das Bild zeigt den Graph einer Parabel. Mit den drei Formvariablen a, b und c kann das Aussehen verändert werden. a ist der Faktor vor dem x<sup>2</sup>, b der vor dem x und c die allein stehende Zahl. Die drei Werte können mit den Schiebereglern im Bild verändert werden. Diese Art, eine Parabel hinzuschreiben, nennt man Normalform. | ||
| Versuche zu erkennen, welchen Einfluss die verschiedenen Werte auf das Aussehen haben! | Versuche zu erkennen, welchen Einfluss die verschiedenen Werte auf das Aussehen haben! | ||
| - | <html> | + | <geogebra name=":mathe:parabeln:ppar1.ggb" width="610" height="300" /> |
| - | <applet code="geogebra.GeoGebraApplet" | + | |
| - | archive="http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jar" | + | |
| - | width="500" height="300"> | + | |
| - | <param name="filename" value="data/media/mathe/ppar1.ggb"/> | + | |
| - | <param name="framePossible" value="false"/> | + | |
| - | Das Applet kann nicht ausgeführt werden. Installieren Sie bitte mindestens | + | |
| - | <a href="http://java.sun.com/getjava">Java 1.4.2</a> | + | |
| - | </applet> | + | |
| - | </html> | + | |
| Stelle nun mit den Schiebereglern die Werte a=1, b=2 und c=–2 ein. Setze nun selber folgende x-Werte in die Parabelgleichung ein und berechne die daraus sich ergebenden y-Werte: x=–3, x=–2, x=–1, x=0. Überprüfe deine Ergebnisse am Graphen! | Stelle nun mit den Schiebereglern die Werte a=1, b=2 und c=–2 ein. Setze nun selber folgende x-Werte in die Parabelgleichung ein und berechne die daraus sich ergebenden y-Werte: x=–3, x=–2, x=–1, x=0. Überprüfe deine Ergebnisse am Graphen! | ||
| Du findest den kleinsten y-Wert, aber du weißt nicht, warum er gerade –3 ist. In der Gleichung kommt nirgends –3 vor. Alles ist undurchsichtig. | Du findest den kleinsten y-Wert, aber du weißt nicht, warum er gerade –3 ist. In der Gleichung kommt nirgends –3 vor. Alles ist undurchsichtig. | ||
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| Der Scheitel einer Parabel ist der Punkt, wo es nicht mehr tiefer (oder höher) geht. Der Begriff "Scheitel" wird gleich eine gewisse Wichtigkeit bekommen. Im nächsten Bild gibt es wieder drei Formvariable. Hier müsste es einfacher sein, den Zusammenhang zum Aussehen der Parabel herauszufinden. Versuche es! | Der Scheitel einer Parabel ist der Punkt, wo es nicht mehr tiefer (oder höher) geht. Der Begriff "Scheitel" wird gleich eine gewisse Wichtigkeit bekommen. Im nächsten Bild gibt es wieder drei Formvariable. Hier müsste es einfacher sein, den Zusammenhang zum Aussehen der Parabel herauszufinden. Versuche es! | ||
| - | <html> | + | <geogebra name="mathe:parabeln:ppar2.ggb" width="610" height="300" /> |
| - | <applet code="geogebra.GeoGebraApplet" | + | |
| - | archive="http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jar" | + | |
| - | width="500" height="300"> | + | |
| - | <param name="filename" value="data/media/mathe/ppar2.ggb"/> | + | |
| - | <param name="framePossible" value="false"/> | + | |
| - | Das Applet kann nicht ausgeführt werden. Installieren Sie bitte mindestens | + | |
| - | <a href="http://java.sun.com/getjava">Java 1.4.2</a> | + | |
| - | </applet> | + | |
| - | </html> | + | |
| Der Nachteil hier ist, dass jetzt die Funktionsgleichung mit der Klammer viel schwieriger aussieht. Stelle nun mit den Schiebereglern die gleiche Parabel her wie in der Aufgabe oben. Schreibe die Funktionsgleichung in dein Heft und forme sie so um, dass die Klammer verschwindet. Vergewissere dich, dass du doch die gleiche Funktionsgleichung bekommst wie oben. | Der Nachteil hier ist, dass jetzt die Funktionsgleichung mit der Klammer viel schwieriger aussieht. Stelle nun mit den Schiebereglern die gleiche Parabel her wie in der Aufgabe oben. Schreibe die Funktionsgleichung in dein Heft und forme sie so um, dass die Klammer verschwindet. Vergewissere dich, dass du doch die gleiche Funktionsgleichung bekommst wie oben. | ||
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| Um den Anschluss an den Themenbereich "Quadratische Gleichungen" nicht zu verlieren: Löse die Gleichungen x<sup>2</sup>+2x–2=0 und (x+1)<sup>2</sup>–3=0. Warum haben beide die gleichen Lösungen und was bedeuten die Lösungen in den Graphenbildern? | Um den Anschluss an den Themenbereich "Quadratische Gleichungen" nicht zu verlieren: Löse die Gleichungen x<sup>2</sup>+2x–2=0 und (x+1)<sup>2</sup>–3=0. Warum haben beide die gleichen Lösungen und was bedeuten die Lösungen in den Graphenbildern? | ||
| - | Halt! Das VOLLE Verständnis der Antwort auf diese Frage ist zu erstreben! | + | Halt! Das **volle** Verständnis der Antwort auf diese Frage ist zu erstreben! |
| Umformen der Parabelgleichung | Umformen der Parabelgleichung | ||
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| Nimm also die Parabelgleichung aus der Aufgabe ganz oben und stelle durch quadratisches Ergänzen die Scheitelform her. Das sollte nicht allzu schwierig sein, weil ja a=1 ist. | Nimm also die Parabelgleichung aus der Aufgabe ganz oben und stelle durch quadratisches Ergänzen die Scheitelform her. Das sollte nicht allzu schwierig sein, weil ja a=1 ist. | ||
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mathe/parabeln/parabel1.1199649936.txt.gz · Zuletzt geändert: 2008/01/06 00:00 (Externe Bearbeitung)
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