M/Ph/Info (Beslmeisl)

Das folgende Bild zeigt, was die Sinusfunktion mit dem Einheitskreis zu tun hat. Nebenbei erkennt man, wie man von Sinus-Werten zurückschließen kann auf die Winkel, die zu diesen Sinuswerten geführt haben (goniometrische Gleichungen).

Da man am besten die volle Bildschirmbreite verwendet, ist das folgende Applet nicht in die Seite eingebunden, sondern es muss ein eigenes Fenster geöffnet werden.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Die Sinus-Funktion hat drei interessante Einstellmöglichkeiten, die hier verstanden werden sollen. Es sind die Werte a, b und c in f(x)=a sin(bx+c).

Nicht dargestellt wird die Verschiebung in senkrechter Richtung. Die könnte man natürlich auch untersuchen, aber es müsste jedem einleuchten, wie sie mathematisch umgesetzt werden kann!

Gehe nun wie folgt vor:

• Überdenke die Eigenheiten der gewöhnlichen Sinus-Funktion mit a=1, b=1 und c=0. Woher kommen Amplitudenhöhe und Periodenlänge?
• Erkläre (nicht nur beschreibe!) die Auswirkungen von a auf die Amplitudenhöhe.
• Belasse b=1 und stelle c=1 ein. Beachte die Änderung und vollziehe sie geistig nach!
• Stelle nun c zurück auf c=0 und ändere b auf b=2 oder b=1/2. Auch diese Veränderungen solltest du verstehen können.
• Ändere nun b und c und versuche einzusehen, warum sich die Funktion so verhält. (Diesen Punkte werden wir noch genauer diskutieren.)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Bei der Verwendung von kariertem Papier ist man gewohnt, dass zwei Kästchen der Zahl 1 entsprechen, sowohl waagrecht als auch senkrecht. Wenn man ausnahmsweise mal anders einteilt, sehen die Graphen verzerrt aus. Das wollen wir möglichst vermeiden.

Eine typische Sinus- oder Kosinusfunktion schwingt mit Amplitude 1 über und unter die x-Achse. Das ist zwar nicht viel, aber eine Vergrößerung lohnt sich nicht, weil man damit auch keine weiteren geheimen Details findet. Lassen wir also in y-Richtung die Skalierung 2 Kästchen als Einheit. Von den Hochwerten kennen wir so viele auswendig, dass wir leicht eine saubere Kurve zeichnen können: 0, 0.5, 0.86, 1, 0.86, 0.5, 0, -0.5, -0.86, -1, -0.86, -0.5, 0 und dann wieder von vorne. Dabei haben wir nur die Werte für die Winkel im Abstand von 30° betrachtet, also die 360° in 12 Teile zerlegt.

Da wir die Winkelfunktionen im Bogenmaß angeben, sieht man die 360° als 2π≈6.28. Weil dieser Wert ganz nah an 12 Kästchen ist und wir die waagrechte Achse eh in 12 Teile zerlegen wollten, schreiben wir 2π bei genau 12 Kästchen hin. Damit wird der Graph nur minimal verzerrt dargestellt, ist aber viel leichter zu zeichnen.