M/Ph/Info (Beslmeisl)

Dies soll keine Stoffzusammenfassung sein und keine Aufgabensammlung, auch wenn es an manchen Stellen so aussehen mag. Der grundsätzliche Sinn dieser Seite ist, dass Sie sich überlegen, wie Sie Aufgaben herstellen können, die ein bestimmtes Thema abdecken und diese Aufgaben dann lösen. Da Sie die Aufgaben selber hergestellt haben, wissen Sie von Anfang an, was rauskommen muss. Wenn es dann nicht rauskommt, können Sie nach dem Rechenfehler suchen.

Da Ihnen dies alles sehr viel Arbeit machen wird, sollten Sie zu zweit sein. Wenn einer auf der Leitung steht, blickt der andere vielleicht gerade durch. Geteiltes Leid ist halbes Leid, geteilte Freude ist doppelte Freude.

Damit Sie Probleme der Mathematik nicht verwechseln mit Rechenfehlern, sollten Sie zwei Computerprogramme verwenden, die die handwerklichen Dinge wahrscheinlich viel besser können:

• Geogebra: Laden Sie sich am besten den Offline-Installer herunter. Java muss vorher installiert sein.
• Wolframalpha macht aus allen Eingaben das Beste.

Wenn Sie Formeln eingeben, verwenden Sie bitte

• für die Multiplikation das Zeichen *
• für die Division das Zeichen /
• für die Potenzierung das Zeichen ^
• nur runde Klammern 7*(2+3*(4+5))

In der Mathematik gibt es richtige und falsche Aussagen. Der Mathematiker will falsche Aussagen als falsch nachweisen und richtige als richtig. Die richtigen sind ihm ein bisschen lieber als die falschen, weil er damit mehr anfangen kann. Aber die falschen als falsch zu erkennen, ist auch ganz schön wichtig!

1. Es gibt Hunde mit braunem Fell.
2. Alle Hunde haben ein braunes Fell.
3. Jedes Tier, das ein Hund ist, hat vier Beine.
4. Jedes Tier, das vier Beine hat, ist ein Hund.
5. Kein Hund hat zwei Augen mit verschiedener Farbe.

Die erste Sorte ist oft einfach als wahr zu beweisen, wenn man ein Beispiel vorzeigen kann. Wenn so eine Aussage falsch ist, ist der Beweis eher schwer, weil man dann von allen Elementen zeigen muss, dass sie die Eigenschaft nicht haben. Es gibt Hunde mit blauem Fell. dürfte schwer als falsch nachweisbar sein.

Die zweite Aussage ist eine All-Aussage. Wenn sie wahr ist, ist sie meist schwer zu beweisen und erfordert einen Trick, weil man ja nicht ewig Zeit hat, von den vielen Elemente etwas nachzuweisen. Ist die Aussage falsch, ist sie meist leicht zu beweisen: Man muss nur ein einziges Gegenbeispiel finden.

Das dritte und vierte Beispiel zeigen, dass es zu jedem Satz einen Gegensatz gibt und dass oft einer von beiden falsch ist. Aber nicht immer. Für den Satz: Jedes Tier, das ein Hund ist, hat eine Mutter, die ein Hund ist. ist auch die Umkehrung richtig.

Kein-Aussagen sind eng verwandt mit All-Aussagen, nur dass sie leicht zu beweisen sind, wenn sie falsch sind und schwer, wenn sie richtig sind.

• Wenn Sie bei dem Beispiel mit den Hunden mit blauem Fell die Idee hatten: „Wieso soll es keine Hunde mit blauem Fell geben? Das kann man doch z.B. mit Farbe leicht erreichen!“, dann haben Sie den Sinn des ganzen Abschnitts nicht verstanden.
• Natürlich geht es in der Mathematik nur selten um Hunde. Aber in diesem Abschnitt geht es nicht um Mathematik, sondern um die Grundzüge der Logik.

Wenn man die Nullstellen einer Polynomfunktion kennt, kann man sie als Produkt von Linearfaktoren hinschreiben. Der Vorgang heißt Faktorisierung, die angewandten Techniken heißen Polynomdivision und quadratische Ergänzung. Gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Schreiben Sie die Funktion als Produkt auf, z.B. f(x)=3*(x-1)*(x+1/2)*(x-8)
2. Multiplizieren Sie alles aus und tun Sie so, als wüssten Sie nicht, wie das Produkt aussieht.
3. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit jemand, der es richtig macht. Wenn Sie obiges bei Wolframalpha eingeben, bekommen Sie als eine andere Darstellung f(x)=12+21/2*x-51/2*x^2+3*x^3. Wenn Sie das nicht herausbekommen haben, ist der Fehler beim Ausmultiplizieren passiert.
4. Faktorisieren Sie nun diese Funktion, indem Sie die erste Nullstelle raten, eine Polynomdivision durchführen und den quadratischen Term mit Gewalt knacken. Am Ende müssen Sie das bekommen, was Sie ganz am Anfang hatten.

• Tun Sie obiges für viele Funktionen mit verschiedenen Nullstellen.
• Bauen Sie auch mal einen Term ohne Nullstellen mit ein, z.B. (x^2+3)^2
• Bauen Sie auch mal einen Term mehrfach ein, z.B. (x-2)^4. Damit haben Sie eine 4-fache Nullstelle.
• Schauen Sie sich immer die Graphen an. Beachten Sie, wie eine 4-fache Nullstelle im Graphen aussieht.
• Machen Sie sich auch Aufgaben, die zu biquadratischen Funktionen führen. Das passiert, wenn man zu jeder Nullstelle links von der y-Achse auch eine gleich weit rechts liegende einbaut, z.B. f(x)=(x-3)*(x+3)*(x^2+5) oder f(x)=5/6*(x-3)*(x+3)*(x-2)*(x+2)
• Durchforsten Sie das Buch nach Aufgaben zu diesem Thema, die Ihnen seltsam vorkommen. Wenn es eine Fragestellung gibt, die Sie nicht verstehen, haben Sie vielleicht ein Grundsatzproblem. Lösen Sie solche Probleme vor der Klausur!

Der Nachweis von Achsensymmetrie ist eine All-Aussage und folglich nicht mit einem Beispiel abgetan. Nur wenn keine Achsensymmetrie vorliegt, reicht ein Gegenbeispiel! Bei Punktsymmetrie ist es ebenso (nur das Kriterium ist ein bisschen anders).

Erfinden Sie also Funktionen, von denen Sie vorher schon wissen, welche Eigenschaften sie haben. Das geht so:

1. Überlegen Sie sich, wo die Achse sein soll, sagen wir bei x=5.
2. Bauen Sie ein Polynom in Produktdarstellung, das zu jeder Nullstelle links von x=5 eine ebenso weit rechts davon liegende hat, z.B. f(x)=(x-1)*(x-9).
3. Verzieren Sie sie noch mit einem Vorfaktor und schieben Sie sie ein bisschen rauf oder runter, z.B. f(x)=3/4*(x-1)*(x-9)+8
4. Vergleichen Sie nun f(5+h) mit f(5-h). Es muss das gleiche rauskommen.
5. Tun Sie das nochmal, aber multiplizieren Sie vorher alles aus. Es muss wieder für f(5-h) und f(5+h) das gleiche rauskommen.

• Weisen Sie nach, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch zu einer anderen Achse ist. Das müsste sehr einfach gehen!
• Tun Sie das alles auch für den einfacheren Fall, dass die Achse bei x=0 liegt.
• Versuchen Sie es mit Funktionen mit einem höheren Grad als 2.

Das alles kann man natürlich auch für punktsymmetrische Funktionen durchführen.

1. Wünschen Sie sich einen Punkt auf der x-Achse, zu dem Sie die Punktsymmetrie haben wollen, z.B. x=5.
2. Bauen Sie gleich weit links und rechts davon Nullstellen ein und zusätzlich eine bei x=5, also z.B. f(x)=(x-1)*(x-9)*(x-5)
3. Vergleichen Sie nun f(5-h) und f(5+h). Da muss genau das Gegenteil herauskommen.
4. Tun Sie das gleich nochmals, aber nachdem Sie alles vorher ausmultipliziert haben.

Im Buch finden Sie nur Aufgaben mit Symmetrien zu x=0.

Durchforsten Sie das Buch nach Aufgaben zu diesem Thema. Es dürfte keine Fragestellung mehr geben, die Sie aus der Fassung bringt. Wenn doch, lösen Sie das Problem vor der Klausur!

1. Nehmen Sie die ganzen Beispiele, die Sie oben schon erfunden haben.
2. Fertigen Sie eine Tabelle an über die Vorzeichenverteilung zwischen den Nullstellen.
3. Testen Sie mit Geogebra oder Wolframalpha nach, ob Ihre Schlussfolgerungen richtig waren.

• Hoffentlich hatten Sie auch mal negative Vorfaktoren, z.B. f(x)=-4*(x-1)*(x+2)^2
• Hoffentlich hatten Sie auch mal mehrfache Nullstellen (gleiches Beispiel)

Welche Funktionswerte bekommt man, wenn man sehr negative oder sehr positive x-Werte in die Funktion einsetzt?

1. Nehmen Sie die ganzen Beispiele, die Sie oben schon erfunden haben.
2. Überlegen Sie den Einfluss, den der Vorfaktor hat.
3. Warum ist die höchste Potenz weit genug draußen immer die Ausschlag gebende?
4. Überprüfen Sie Ihre Schlussfolgerungen mit der Software.

Dieses Thema ist im ersten Halbjahr recht theoretisch. Man kann die Aussagen nicht leicht mit geeigneten Rechnungen darstellen. Trotzdem sollten Sie die Kriterien genau kennen und wenigstens wissen, was prinzipiell zu tun wäre, wenn eine der vier Monotoniearten

• als wahr nachgewiesen werden muss
• als falsch nachgewiesen werden muss

Die Aufgaben im Buch sind völlig ausreichend, z.B. auf Seite 67.